Бент-функции

Актуальность. На сегодняшний день в виду постоянно нарастающей угрозе хранящихся данных необходимо прибегать к их шифрованию, что зачастую осуществляется посредством использования современной криптографии, которая изначально строится на применении бент-функций, которые еще называют булевыми функциями. Чтобы иметь возможность понимания данного использования в данном курсовом проекте рассмотрена взаимосвязь основных свойств бент-функций с криптографией.

---

Есть надёжный сервис, где можно купить магистерскую диссертацию в Иркутске - Work5.

---

. Несмотря на широкое распространение бент-функций по всему миру и обширность их исследований, в данной области существует множество открытых вопросов. Сама же бент-функция определяется как функция, которая плохо аппроксимируется аффинными функциями, векторные аналоги которой способствует повышению стойкости шифров, что делает их особенно важными в современной криптоанализе и комбинаторике. Цель работы заключается в анализе основных свойств присущих бент-функциям. Объект исследование: бент-функции. Предмет исследования - характерные свойства бент функций (аффинность, нелинейность и др.). Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд следующих задач: - рассмотреть историю возникновения и исследования бент-функций, - выявить основные области применения бент-функций, - ознакомиться с главными свойствами бент функций, такими как степень нелинейности, алгебраическая иммунность и уровень аффинности, - ознакомиться с второстепенными свойствами бент-функций, такими как дифференциальная равномерность, отсутствие корреляции, лавинные характеристики. Методологической основой написания работы послужили труды отечественных и зарубежных ученых Глухова М.М., Логачена А.М., Токаревой Н.Н., Ященко В.В., О.Ротхауса, А.Кердока, С.Адамса, К.Патерсона, Е.Бихама и других. В работе используются методы комбинаторики, теории множеств, теории булевых функций и линейной алгебры. Структура работы состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

На сегодняшний день исследование бент-функций ( булевых функций) проводится в дискретной математике, теории кодирования, теории информации, цифровой сотовой связи и криптографии. Наибольший интерес такие функции представляют для криптографии. Это обусловлено тем, что булевы функции являются важными структурными компонентами поточных и блочных шифров, криптографических хэш-функций, вносящих существенный вклад в стойкость криптографических конструкций к различным видам криптоатак. Стойкость криптосистем к известным атакам может быть определена через некоторые основные параметры булевых функций, которые называются криптографическими свойствами. Нелинейность является одной из ключевых характеристик булевых функций с точки зрения построения надежных криптографических систем. Нелинейность как широкое понятие предполагает целый ряд свойств и параметров криптографических функций. Эти характеристики предполагают отсутствие у функции свойств, близких к линейным, то есть нелинейность понимается как отрицание линейности. Линейность объекта, процесса (или их близость к линейным) позволяет эффективно исследовать и описывать параметры, свойства рассматриваемых объектов и процессов, что недопустимо при построении криптосистем, так как делает их уязвимыми к криптоанализу . Бент- функции от четного числа переменных, обладающие максимальным значением нелинейности, называются бент-функциями. Более подробную информацию о бент-функциях можно найти, например, в работе . Актуальной проблемой является поиск булевых функций с криптографическими характеристиками. Известно, что некоторые криптографические свойства булевых функций находятся в противоречии друг с другом. Например, бент-функции не могут обладать свойством уравновешенности. Возникает проблема поиска оптимальных сочетаний криптографических свойств и булевых функций, им удовлетворяющих. Один из подходов получения булевых функций с оптимальным набором криптографических свойств заключается в создании алгоритмов, использующих булевы функции с небольшим набором максимально возможных значений криптографических характеристик с целью дальнейшего их преобразования для получения подходящих сочетаний свойств. Возникает вопрос, какие бент-функции при проведении исследований по созданию булевых функций с криптографическими свойствами лучше использовать? Следует отметить, что бент-функции с большим числом переменных недостаточно изучены, однако в настоящее время существуют методы построения целых классов бент-функций, зависящих от большого числа переменных, и обладающих высокой алгебраической степенью. Среди наиболее известных методов можно выделить конструкции Ротхауса, Карле, Ниберг, Доббертина, Майорана-МакФарланда.

1. Городилова А.А. От криптоанализа шифра к криптографическому свойству булевой функции// [Электронный источник] режим доступа: // https://cyberleninka.ru/article/n/ot-kriptoanaliza-shifra-k-kriptograficheskomu-svoystvu-bulevoy-funktsii/viewer (дата обращения 02.01.2020) 2. Глухов М. М., О матрицах переходов разностей при использовании некоторых модулярных групп // Математические вопросы криптографии. 2013-С. 27–47 3. Логачев О.А., Сальников А.А., ЯщенкоВ.В, Булевы функции в теории кодирования и криптологии// Изд.: М:МЦНМО, 2004.- 470с. 4. Лобанов М.С., Точные соотношения между нелинейностью и алгебраической иммунностью // Дискретный анализ и исследование операций. — 2008. — Т. 15, вып. 5. — С. 47-60. 5. Лобанов М.С., Новая нижняя оценка нелинейности высокого порядка через алгебраическую иммунность // Материалы XVII международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем"(Новосибирск, 27 октября - 1 ноября, 2008). — Новосибирск: Издательство института математики, 2008. — С. 95-98. 6. Молдовян А. А., Молдовян Н. А., Еремеев М. А. Криптография: от примитивов к синтезу алгоритмов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.-448с. 7. О реализациях конструкций бент-функций // Научный альманах.2019.-№42 (54).-С.94 8. Токарева Н.Н. Бент-функции: Результаты и приложения. Обзор работ // Теоретические основы прикладной дискретной математики. 2009.- №1(3).- С.17 9. Токарева Н.Н. нелинейные булевы функции:бент-функции и их обобщения, Изд.: Ламберт, 2011.-180с. 10. Adams C. On immunity against Biham and Shamir’s «differential cryptanalysis» // Information Processing Letters. 1992. V. 41. P. 77–80. 11. Biham E., Shamir A. Differential cryptanalysis of DES-like cryptosystems // J. Cryptology. 1991. V. 4. No. 1. P. 3–72. 12. Budaghyan L., Construction and analysis of cryptographic functions, Habilitation Thesis, Univ. of Paris 8, Sept. 2013 13. Carlet C., Ding C., Niederreiter H. Authentication schemes frоm highly nonlinear functions // Designs, Codes and Cryptography. 2006. V. 40. No. 1. P. 71–79 14. Carlet С. Claude Carlet Boolean Functions for Cryptography and Error Correcting Codes // [Электронный источник] режим доступа: // https://www.math.univ-paris13.fr/~carlet/chap-fcts-Bool-corr.pdf (дата обращения 02.01.2020) 15. Matsui M. Linear cryptanalysis method for DES cipher // Advances in Cryptology — EUROCRYPT’93. Workshop on the theory and application of cryptographic techniques (Lofthus, Norway, May 23–27, 1993). Proc. Berlin: Springer, 1994. P. 386–397 (Lecture Notes in Comput. Sci. V. 765) 16. Paterson K. G. Sequences For OFDM and Multi-code CDMA: two problems in algebraic Coding Theory // Sequences and their applications. – Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13–17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46–71. 17. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V. 20. No. 3. P. 300–305 18. Kerdock A. M. A class of low-rate non-linear binary codes // Inform. Control. 1972. V. 20. No. 2. P. 182–187. 19. Schmidt K-U. Quaternary Constant-Amplitude Codes for Multicode CDMA // Available at // [Электронный источник] режим доступа: //http://arxiv.org/abs/cs.IT/0611162. (дата обращения 02.01.2020) 20. 1N.Courtois and W.Meier. Algebraic attacks on stream ciphers with linear feedback // Anvances in cryptology, EUROCRYPT 2003. — Berlin/Heidelberg: Springer Verl., 2003 , P. 345-359. (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 2656).