Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения относительно функции одной переменной это уравнения, в которые входят независимая переменная , функция  и ее производные. Простейшее дифференциальное уравнение это поиск первообразной по заданной функции. В виде уравнения эта задача записывается так:

Порядок дифференциального уравнения это наибольший порядок входящих в уравнение производных неизвестной функции. Например, только что написанное уравнение имеет первый порядок. Произвольное уравнение   -го порядка записывается в виде:

Произвольное уравнение  -го порядка записывается в виде:

Решить дифференциальное уравнение означает найти все его решения. По задаче нахождения первообразной можно сделать вывод, что общее решение дифференциального уравнения -го порядка зависит от одной произвольной постоянной. И вообще, чтобы найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, нужно задать значение которое принимает искомая функция при заданном значении.

Пример 1

 Найти общее решение дифференциального уравнения   и найти частное решение удовлетворяющее условию  .

Общее решение есть первообразная функции стоящей в правой части: 

Частное решение находим из данного условия:. Отсюда  и частное решение .

Можно поставить следующую задачу: Найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет заданное семейство функций. Рассмотрим пример.

Пример 2

Составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет заданное семейство функций .

Продифференцируем функцию  : или . Теперь мсключим . Из выражения семейства функций, находим: . Окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение:. 

Можно было бы сразу записать   и тогда дифференциальное уравнение имело бы вид , что в общем то же самое.