Однородные уравнения первого порядка

Дадим сначала два определения.

Функция  называется однородной функцией степени  если для всех пар  выполнено равенство .

Дифференциальное уравнение -го порядка называется однородным, если его можно записать в виде: 

,

где и однородные функции одной и той же степени.

Однородное уравнение можно записать также в виде: .

Алгоритм решения однородных уравнений следующий: делаем подстановку . После преобразований получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Приведем несколько примеров.

Пример 1  Решить уравнение  Делаем замену:  . После преобразования подобных членов получим уравнение с разделяющимися переменными: . Разделяем переменные и интегрируем:  . Находим интеграл:  . Вспоминая, что  получаем общий интеграл:  . Уравнения вида приводятся к однородным уравнениям. Если , то применяется замена , где подбираются так, чтобы уравнение приняло вид , после чего уравнение становится однородным. Если , то и уравнение сразу сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой: .

Приведем примеры:

Пример 2 Решить уравнение:  Сведем уравнение к однородному уравнению. Сделаем замену и подставим в скобки: .Осталось найти и из системы: . Итак, после замены уравнение принимает вид:  . Решаем полученное однородное уравнение. Сделаем замену: . После преобразований и разделения переменных получим: . Найдем интеграл в правой части:  Осталось в полученный общий интеграл подставить и мы получим окончательный вид общего решения через исходные переменные.