Показательная форма комплексного числа

Пусть комплексное число задано в алгебраической форме . Найдем модуль и аргумент этого числа. По определению модуль ; аргумент  равен 

. Прежде чем ввести определение показательной формы комплексного числа , введем тригонометрическую форму записи числа . Как следует из рисунка

. Это тригонометрическая форма записи числа . Если мы применим формулу Эйлера

,

то получим показательную форму записи комплексного числа:

.

В некоторых случаях удобно применять именно показательную форму записи комплексных чисел.

Например, при умножении или делении удобно применять именно показательную форму записи.

Умножение для комплексных чисел в показательной форме: пусть эти числа  и  . Тогда их произведение . Правило читается так: чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Деление этих чисел будет происходить по формуле: . Здесь правило формулируется так: у частного двух комплексных чисел модуль равен частному модулей этих чисел, а аргумент - разности аргументов. 

Пример 1 Найти произведение   и частное   комплексных чисел    и . Оба комплексных числа заданы в показательной форме. Используем приведенные выше формулы:

;

.

Пример 2 Перевести данные комплексные числа   и   в показательную форму и найти их произведение  и частное .

Переведем данные числа в показательную форму:

; ; .

; ; .

Находим произведение:

;

и частное:

  

Формула возведения в целую степень комплексного числа, заданного в показательной форме, так же выглядит удобной для вычислений: . В этой формуле - целое.

Пример 3 Вычислить и записать ответ в алгебраической форме.

Для удобства вычислений представим число в показательной форме:

;  .

Теперь используем формулу для возведения в степень:

.