Тригонометрические и гиперболические подстановки
Как известно, при интегрировании иррациональностей, нужно избавиться от радикала (корня). Квадратичная иррациональность это почти потолок возможностей взятия неопределенного интеграла от иррациональной функции. Можно непосредственно применять подстановки Эйлера, они годятся для любой иррациональности вида .png){kind=small}
. Однако проще бывает провести тригонометрические или гиперболические подстановки.
Пусть нам дан интеграл такого вида .png)
. Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене: .png){kind=small}
и проводя линейную замену получаем интегралы трех типов:
.png)
. В таком интеграле делаем подстановку .png){kind=small}
или .png){kind=small}
.png)
. В таком интеграле делаем подстановку .png){kind=small}
или .png){kind=small}
.png)
. В таком интеграле делаем подстановку .png){kind=small}
или .png){kind=small}
Продемонстрируем действие этих подстановок на примерах.
Пример 1 Применяя нужную подстановку найти неопределенный интеграл
.
Здесь имеем первый тип интеграла, делаем замену:
Имеем:
.
Далее делаем обратную замену: давали в переменных
, выражаем в тех же переменных.
Поэтому, в результате получаем:
.png)
.png)
.png)
Пример 2 Применяя нужную подстановку найти неопределенный интеграл
.
Здесь имеем второй тип интеграла. Сделаем гиперболическую подстановку
Имеем:
.png)
.png)
Пример 3 Вычислить неопределенный интеграл:
Сделаем на этот раз тригонометрическую подстановку:
. Тогда
и
.png)
В результате получим интеграл:
,
где
. После интегрирования рациональной дроби получаем
.png)
Теперь делаем обратную замену:
и
.png)
После преобразований получаем:
.png)
