Действия над комплексными числами
Комплексными числами называются числа вида , где и —действительные числа, а — мнимая единица. Такая форма записи комплексных чисел называется алгебраической. На комплексной плоскости число можно изобразить точкой или радиус вектором этой точки.
На следующем рисунке
изображено комплексное число , где, на рисунке .Числа и называются соответственно действительной частью (обозначается ) и мнимой частью (обозначается ).
Покажем, как происходит сложение, умножение и деление комплексных чисел. Действия продемонстрируем для комплексных чисел в алгебраической форме.
- Сложение. Пусть и — два комплексных числа. Их сумма определяется так: . Читаем так: чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части. Приведем пример:
Пример 1 Сложить два комплексных числа: и . Имеем:
- Умножение. Пусть и — два комплексных числа. Тогда определим произведение как обычное произведение скобок, учитывая, что :
Пример 2 Перемножить два комплексных числа: и . Имеем:
-
Прежде чем перейти к делению комплексных чисел, дадим одно определение. Для комплексного числа определим ему сопряженное следующим образом: . Легко видеть, что Кроме того, .
- Деление. Пусть и — два комплексных числа. Определим деление следующим образом:
Пример 3 Найти , где и . Имеем: .