Действия над комплексными числами

Комплексными числами называются числа вида , где  и   —действительные числа, а  — мнимая единица. Такая форма записи комплексных чисел называется алгебраической. На комплексной плоскости число  можно изобразить точкой или радиус вектором этой точки. 

На следующем рисунке 

изображено  комплексное число , где, на рисунке .Числа  и  называются соответственно действительной частью  (обозначается ) и мнимой частью  (обозначается  ).

Покажем, как происходит сложение, умножение и деление комплексных чисел. Действия продемонстрируем для комплексных чисел в алгебраической форме.

1. Сложение. Пусть   и   — два комплексных числа. Их сумма определяется так:  . Читаем так: чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные и мнимые части.  Приведем пример: 

   Пример 1 Сложить два комплексных числа:  и . Имеем: 

2. Умножение. Пусть  и   — два комплексных числа. Тогда определим произведение как обычное произведение скобок, учитывая, что  :  

   Пример 2 Перемножить два комплексных числа:  и  . Имеем: 

3. Прежде чем перейти к делению комплексных чисел, дадим одно определение. Для комплексного числа  определим ему сопряженное следующим образом: . Легко видеть, что  Кроме того,  .

4. Деление. Пусть  и   — два комплексных числа. Определим деление следующим образом:  

   Пример 3 Найти , где  и . Имеем: .