График производной

Чтобы графически построить функцию, используют производную этой функции. Сам график производной при этом не строят. Вызывает интерес знак производной: если производная положительна, то сама функция возрастает, а если отрицательна, то — убывает. Кроме того в точках, где производная меняет знак с + на –, имеем точку максимума, а если с – на +, то точку минимума. Если требуется все-таки построить график производной функции, то сначала функцию дифференцируют, а затем строят график получившейся функции обычным образом. То есть проводят полное исследование функции, включая поведение первой и второй производной функции, а также нахождение асимптот.

Пример 1 

Рассмотрим в качестве примера хорошо известную со школы функцию . Ниже приведен ее график.

Построим график производной этой функции.

 

Производная этой функции равна .

 
По графику производной можно сделать вывод о поведении самой функции:

• функция определена на всей действительной оси;
• функция всюду возрастает (т. к.  производная положительна);
• экстремумов – не имеет.

Наибольшая скорость роста функции — в точке. Здесь касательная к арктангенсу имеет угловой коэффициент . Поскольку производная есть четная функция, то сам арктангенс есть функция нечетная. На возрастание функции замедляется, но про горизонтальную асимптоту мы ничего сказать не можем.

Иногда требуется по графику производной определить свойства самой функции. Как правило, изображают производную функции и спрашивают, сколько точек экстремума имеет функция на каком-либо промежутке. Как мы знаем, точки экстремума — это точки минимума или максимума функции. А производная функции в точках экстремума меняет знак. Поэтому находим сколько раз менялся знак у производной и это число перемен знака и будет числом точек экстремума.

Пример 2 

Пусть производная функции изображена на графике. Определить точки экстремума исходной функции.

 
По графику определяем в точках и производная меняет знак с – на+. Поэтому это точки минимума. В точках и производная меняет знак с + на –. В этих точках имеем максимумы. Итого имеем 4 точки экстремума – два максимума и два минимума.