Производная обратной функции

При выводе формул в таблице производных используют теоремы и приемы из теории пределов, а так же два замечательных предела. Кроме того, при нахождении производных обратных функций используют теорему о дифференцировании обратной функции. Дадим ее формулировку.

Теорема Пусть задана функция , которая строго монотонна и непрерывна на интервале , который отображается на интервал . Тогда определена и обратная функция , которая также непрерывна и строго монотонна. Пусть в некоторой точке X производная существует и не равна 0. Тогда существует производная обратной функции, при этом .

Покажем, как выводятся табличные производные обратных функций, используя эту теорему.

Пример 1 Покажем, что . Функция монотонна на сегменте ,который отображается на сегмент . На нем определена обратная функция . По теореме об обратной функции имеем:

.

Мы взяли перед корнем знак +, поскольку принадлежит сегменту . 

Пример 2 Покажем, что . Функция  монотонна для всех Х. Обратная функция ; Применяем теорему об обратной функции:

 

Здесь мы воспользовались школьной формулой .