Правила вычисления производных

Для вычисления производных нужна таблица производных основных элементарных функций, называемых простейшими элементарными функциями и правила вычисления производных. Действительно, любая элементарная функция есть функция полученная из простейших элементарных функций при помощи арифметических операций сложения умножения , возведения в степень и суперпозиции. Поэтому вычисление производных от элементарных функций алгоритмично и при известной сноровке не составляет труда.

Остановимся на правилах вычисления производных. Перечислим их.

1. Производная суммы функций  

Читается так: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций. При этом число слагаемых функций может быть больше двух.

Пример 1 

Найти производную функции  .

Пользуемся правилом суммы и таблицей производных:

.

2. Производная произведения функций

Дифференцируем одну функцию, другая — без изменения и прибавляем продифференцированную другую умноженную на первую без изменения.  

Пример 2 

 Найти производную функции: . Имеем

.

3. Производная частного двух функций

 Эту формулу нужно просто запомнить.  

Пример 3 Найти производную функции: . Имеем:

 

4. Производная сложной функции

 Сложная функция или композиция или суперпозиция функций есть функция от функции: . Правило дифференцирования сложной функции такое: дифференцируем внешнюю функцию по аргументу , а затем функцию .

Получаем нашу формулу:

Поясним правило на примере. 

Пример 4 

Найти производную функции  . Здесь внешняя функция арктангенс, а внутренняя – степенная. Применим правило дифференцирования сложной функции:.

Отметим еще, что сложная функция может состоять не из двух, а из большего числа функций. Здесь применение правила сложной функции аналогично, просто мы дифференцируем функции поочередно, начиная с внешней функции, так сказать по цепочке. Поэтому само правило дифференцирования сложной функции иногда называют правилом цепочки.

Пример 5 Найти производную функции .

Здесь цепочка состоит из 5 функций степенной, синуса, опять степенной, затем опять синуса и вновь степенной:

.