Правила и методы интегрирования

Как и при дифференцировании имеются правила интегрирования, которые наряду с таблицей интегралов дают возможность находить неопределенный интеграл. Эти правила следуют непосредственно из правил дифференцирования. Поэтому мы не будем их доказывать. А просто сформулируем:

,
Теперь перечислим методы интегрирования. Нумерацию продолжим. 

Если  и , то .

Этот метод называют методом введения нового аргумента. Из него следует часто применяющееся правило линейной замены:

Если , то .

Хотя это правило и является частным случаем метода , мы его выделим, так как оно часто применяется.

Метод подстановки:

   Если  непрерывна, то, полагая , получим .  

Вызывает сомнение замена простого исходного интеграла на более громоздкий интеграл. Однако часто это единственный путь вычисления интеграла. При этом нужно не забыть, вычислив интеграл от  перейти к функции от  сделав обратную замену.

Наконец, сформулируем метод интегрирования по частям. 

 Если  и  дифференцируемые функции, то справедлива формула: .

Последняя формула и ее применение будет рассмотрена нами отдельно. Будут рассмотрены главные случаи в которых она применяется.

Приведем здесь для удобства таблицу интегралов и продемонстрируем методы и приемы интегрирования на примерах. 

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.

Отметим еще, что правило  иногда называют методом разложения. Продемонстрируем его:

Пример 1 Найти неопределенный интеграл: . Применим метод разложения. Используем основное тригонометрическое тождество:  и разложим единицу в числителе согласно этому тождеству:   

Пример 2 Найти неопределенный интеграл: .

Умножим под интегралом числитель и знаменатель на  и занесем этот множитель под знак дифференциала. Затем используем формулу : .

Этот метод обратный методу замены переменной называют иногда методом внесения под знак дифференциала.

Пример 3 Найти неопределенный интеграл:  .

Здесь, как и в предыдущем примере, используем метод внесения под знак дифференциала:    .

Пример 4 Найти неопределенный интеграл:  .

Отметим, что  и далее, как в предыдущем примере: .

Пример 5 Найти неопределенный интеграл: .

Имеем: .

Что касается остальных методов интегрирования, то они будут рассмотрены при интегрировании тригонометрических выражений, рациональных, иррациональных выражений. Метод интегрирования по частям так же будет рассмотрен специально.