Критерий Коши сходимости рядов

Для рядов, как и для последовательностей, имеет место критерий Коши. По сути это критерий сходимости Коши последовательности частичных сумм ряда.

Критерий Коши сходимости рядов

Ряд  сходится тогда и только тогда когда для любого   существует такое натуральное число  , что для всех  и  таких, что   выполняется неравенство .

На практике часто применяется критерий равносильный этому, но доказывающий расходимость исходного ряда. Назовем его просто критерий расходимости.

Критерий расходимости

Ряд  расходится тогда и только тогда, когда существует  , такое, что для всех натуральных чисел   найдутся натуральные числа , такие, что .

Пример 1 Используя критерий Коши, доказать сходимость ряда  .

Запишем цепочку неравенств:

.

Неравенство будет иметь место, если  , или, решая это показательное неравенство, получим  . Так что в качестве   можно взять  , где - означает, целую часть числа, то есть наибольшее целое число не превосходящее  .

Пример 2 Покажем, что бесконечная десятичная дробь 

 

определяет действительное число. Для этого следует показать, что для выписанного нами ряда выполняется критерий Коши. Начинаем как обычно с заключительного неравенства

.   

Разрешая последнее неравенство относительно , получим оценку:

. То есть зависимость   следующая:  .

Пример 3 Используя критерий Коши (критерий расходимости) показать расходимость гармонического ряда  .

Возьмем в критерии Коши   и  . Оценим: 

 

Поскольку для любого  мы можем выбрать , то ряд расходится, поскольку критерий Коши для него не выполняется.