Комплексные числа, основные понятия

Комплексным числом назовем число вида , где  - так называемая мнимая единица.

Если действительные числа мы изображали точкой на действительной оси, то комплексные числа мы изображаем точками на комплексной плоскости. Чтобы геометрически изобразить комплексное число, введем декартову систему координат, где по оси  (действительная ось) откладываем (вправо или влево в зависимости от знака) величину . По оси  (мнимая ось) мы откладываем . При этом,  называется действительной частью числа , а называется мнимой частью числа .

Комплексное число  можно трактовать как радиус вектор точки с координатами . Введем понятия модуля и аргумента комплексного числа .

Модулем числа  назовем величину , а аргументом  – угол (в радианах) который составляет радиус вектор точки  с положительным направлением действительной оси. Если точка  находится в  - й или  - й четвертях, то можно использовать формулу: . Отметим, что для точки  аргумент определен неоднозначно (с точностью до , где - произвольное целое число).

Для комплексных чисел   вводятся операции сложения:

;

умножения:

;

и деления:

                                                                       .

Для операции сложения геометрический смысл как при сложении векторов: к концу вектора  приставим вектор  и соединим начало первого  и конец приставленного второго. Получим .

Для операций умножения и деления такая наглядность на первый взгляд отсутствует. Чтобы понять, что происходит при умножении и делении, введем понятие тригонометрической формы комплексного числа. Обращаясь к рисунку запишем:

.

Это и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа. Если мы обозначим тригонометрические формы чисел

,

то

                                                      .

То есть при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении комплексных чисел можно получить следующую формулу:

.

То есть при делении  на получаем число, у которого модуль равен частному от деления модуля  на модуль , а аргумент равен разности аргументов  и : .

Пусть задано комплексное число . Тогда сопряженным этому числу назовем число:

Некоторые свойства комплексно сопряженных чисел дадим без доказательства:

1.       ;

2.       ;

3.       ;

4.       .

5.       .

Комплексно сопряженные числа расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси:

Отметим еще одно интересное свойство комплексно сопряженных чисел.

Свойство. Пусть  многочлен  - й степени с действительными коэффициентами. Если  есть корень этого многочлена, то  также является его корнем.