Определенный интеграл как предел суммы

К понятию определенного интеграла приводят многие физические задачи. В конечном счете, все они сводятся к определению площади криволинейной трапеции. 

Рассмотрим плоскую фигуру ограниченную отрезком  оси , двумя вертикальными прямыми  и , а также кривой (для определенности мы нарисовали кривую над осью ).

Площадь такой трапеции можно найти приближенно. Для этого разбиваем отрезок  на  не обязательно равных частей точками:

,

и на каждом отрезке  выберем точку . Произведение  есть площадь прямоугольника со сторонами   и . При малых  сумма площадей этих прямоугольников будет мало отличаться от площади всей трапеции. Строгое определение определенного интеграла следующее (интеграл Римана).

Обозначим длину наибольшего отрезка  через . Составим интегральную сумму . Конечно, эта сумма зависит еще и от самого разбиения и от выбора точек . Так вот, если предел таких интегральных сумм при  существует, то он называется определенным интегралом от функции  по промежутку :

Мы не останавливаемся на построении строгой теории интеграла Римана. Отметим только, что кусочно - непрерывные функции интегрируемы по Риману. Хотя теория интеграла Римана вполне законченная, но имеет свои недостатки. В частности, интегралы от неограниченных функций, а также интегралы по неограниченным промежуткам (несобственные интегралы) не существуют, как интегралы Римана.

Приведем несколько примеров, показывающих, как вычисляются определенные интегралы через пределы частичных сумм.

Пример 1 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм, производя надлежащим образом разбиение промежутка интеграции: .

Разбиение промежутка интегрирования проведем так: .

Значения функции для определенности возьмем в правых концах промежутков.

Воспользуемся формулой: .

Тогда, продолжая дальше цепочку равенств, получим окончательно: .

Пример 2 Вычислить определенный интеграл, как предел интегральных сумм: .

Разбиение промежутка интегрирования проведем, как и в предыдущем примере:

Оставим интегральные суммы. Значения функции берем в левых концах промежутков:

Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

У нас . В результате получим:

Теперь используем следствие второго замечательного предела: 

Согласно этой формуле, закончим вычисления: . Это и есть значение определенного интеграла .