Производная неявной функции

Иногда функции встречаются в непривычном для нас виде. Один из таких видов – неявное задание. Это означает, что функция не выражена в виде . Приведем три примера: ;и .

Если в первом случае мы легко можем выразить функцию: и далее , то во втором случае выразить функцию весьма затруднительно, ну а в третьем вообще невозможно. При этом иногда приходится брать производные от таких неявно заданных функций, или, короче, от неявных функций. Конечно, ожидать явный вид от таких производных не приходится, и производные будут иметь вид .

Продемонстрируем сказанное на приведенных нами примерах. Во всех случаях дифференцируем обе части равенства по , считая - функцией зависящей от .

Пример 1 . Отсюда выражаем . Если мы подставим явное выражение для в полученную формулу, то получим:

Сравним полученное выражение с продифференцированной явной функцией:

 .

Мы видим, что результаты совпадают. В том случае, когда мы не можем выразить функцию явно, приходится довольствоваться видом . Проведем дифференцирование в двух оставшихся примерах.

Пример 2 . Дифференцируем:

.

Пример 3 . И здесь дифференцируем обе части равенства:

Выражаем отсюда производную:

.

Пример 4  В качестве заключительного примера приведем пример нахождения касательной к кривой заданной неявной функцией  в точке .

Убедимся, что заданная точка  принадлежит кривой: .

Далее находим производную функции: . Не выражая производную подставляем в полученное выражение координаты точки : , получим , то есть производная в точке  равна . Используя формулу для касательной к кривой  в точке ,  находим:

 или  .