Производная степенно-показательной функции

В некоторых случаях приходится брать производную от функции вида . 

Эта функция называется степенно-показательной функцией. Она похожа и на степенную функцию, но показатель у нее – функция. Поэтому производную по формуле степенной функции мы брать не в праве. Точно так же мы не можем вычислить производную как от показательной функции, так как основание является функцией, а не числом. Что же делать? 

Здесь можно использовать логарифмическую производную: если ,

то   и мы можем вычислить производную от обеих частей последнего равенства: .

Отсюда находим: 

. 

Последнюю формулу можно запомнить так: берем производную от функции, считая показатель постоянным ( не зависящем от  ):, а затем наоборот, считаем основание не зависящим от :.

Складывая, получаем формулу:

.

Пример 1 

Найти производную функции . 

Ищем производную по найденной формуле

.

Пример 2 

Найти производную функции  . Используем логарифмическую производную.

Проводя предварительно логарифмирование, находим .

Дифференцируем обе части равенства: .

Отсюда находим производную .

Пример 3 

Найти производную функции .

Иногда поступают так (что по сути является применением логарифмической производной):

.