Производные высших порядков

.Определение Пусть функция дифференцируема на , причем функция тоже дифференцируема. Тогда производная от функции называется второй производной от функции и обозначается .

Аналогично определяются и производные более высоких порядков. А именно:

Формула Пусть определена производная порядка N от функции (обозначение ) и функция дифференцируема на , тогда  определяется по формуле .

Как правило, производная нужного порядка определяется поэтапно. Сначала определяем первую производную, затем вторую, третью и т. д., пока не дойдем до нужной производной. В некоторых случаях можно воспользоваться легко выводимыми формулами. Приведем их:

Формула 1 Пусть . Тогда . В частности, если , то .

Формула 2 Пусть . Тогда . Вывод этой формулы можно сделать, используя метод математической индукции и школьные формулы приведения.

Формула 3 Пусть . Тогда .

Формула 4 Пусть . Тогда .

Формула 5 Пусть . Тогда .

Формула 6 Кроме этих формул, бывает полезна формула Лейбница для вычисления  N-ой производной от произведения функций: 

.

Формулу Лейбница можно доказать так же как и формулу бинома Ньютона. Да и вид у них похожий. В заключении приведем несколько примеров вычисления производных  N-го порядка.

Пример 1 . Применяем формулу 5 и дифференцирование сложной функции:, поскольку функция у нас зависит не от , а от .

Пример 2 . Поскольку уже вторая производная от функции Х равна 0, то в формуле 6 только два члена будут отличны от нуля:

.