Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Напомним, что дифференциалом функции называется выражение . Дифференциал функции можно применять для приближенного вычисления функции в окрестности точки  зная значение функции и ее производной в самой точке.

Приближенная формула имеет вид: 

Если представить геометрически, то мы вычисляем значение функции ,как если бы она была касательной в точке .

Имеется два момента, которые нужно учесть.

Первое. Мы не знаем, насколько функция может измениться при переходе от точки к точке . Это зависит от того насколько меняется ее производная.

И второе, мы не можем оценить точность нашего вычисления. Поэтому задачу о вычислении приближенного значения функции ставят так: найти значение функции в точке используя дифференциал. Иногда просят оценить погрешность или относительную погрешность, зная точное значение в точке .

Приведем несколько примеров.

Пример 1 

Пусть мы хотим найти приближенное значение функции  в точке , используя дифференциал, зная значение функции и ее производной в точке :  и оценить абсолютную и относительную погрешность. По приближенной формуле имеем:.

Поскольку , то абсолютная погрешность , и относительная погрешность.

Посмотрим, как влияет расстояние между точками  и  на погрешность и относительную погрешность. Пусть мы хотим найти приближенное значение функции  в точке . Тогда, применяя приближенную формулу, найдем: . С другой стороны , так что абсолютная погрешность , и относительная погрешность  .

Мы видим, что при удалении точки достаточно далеко от исходной , погрешность может сильно возрасти.

Сделаем следующий вывод: для достаточно близких точек погрешность может быть вполне удовлетворительной. Но самое главное, мы не можем вычислить значение в близкой точке с нужной нам точностью. Это можно сделать, используя формулу Тейлора и взяв в ней достаточное число членов. 

Рассмотрм еще несколько примеров.

Пример 2 

Найти приближенное значение , используя дифференциал. Находим:

Подставим в приближенную формулу: .

Найдем абсолютную и относительную погрешности наших вычислений. Точное значение .

Абсолютная погрешность , относительная погрешность .

Относительная погрешность маленькая. Это связано с тем, что мы взяли значение в точке близкой к исходной точке .

Пример 3 

Найти приближенное значение , используя дифференциал. Исходной точкой, в которой мы знаем значение функции и ее производной, берем точку.

По приближенной формуле находим: .

По калькулятору найдем точное значение функции .

Оценим абсолютную погрешность: .

Относительная погрешность.