Признаки сравнения для несобственных интегралов

Пусть функция  определена и интегрируема по Риману на любом промежутке . Пусть существует следующий предел:

Тогда мы скажем, что несобственный интеграл  -го рода  сходится и равен этому пределу:

Если предел не существует, или он бесконечный, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется и сходимость и величина несобственного интеграла .

Пусть функция  определена и ограничена на полуоткрытом промежутке , а при  функция  неограниченная. Тогда, как интеграл Римана, интеграл  существовать не может, поскольку при составлении интегральных сумм, произведение  будет неограниченным. Рассмотрим интеграл по меньшему промежутку:  

Если существует предел: , то интеграл  называется сходящимся, а этот предел называется его значением: .

Если же предел не существует или бесконечный, то исходный несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется сходимость или расходимость несобственного интеграла , если функция  неограниченная при .

Такого сорта интегралы, от неограниченных функций по ограниченному промежутку называются несобственными интегралами второго рода.

При рассмотрении несобственных интегралов прослеживается аналогия с рядами. Так же как и для рядов имеет место критерий Коши сходимости, а так же признаки абсолютной сходимости.

Критерий Коши. Для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовало такое число , что для всех  выполнялось неравенство: .

Если несобственные интегралы  -го или  -го рода сходятся для функции , то они называются абсолютно сходящимися.

Признак сравнения 1. Пусть выполняется неравенство , при . Если  сходится, то  сходится абсолютно.

Признак сравнения 2. Пусть существует конечный предел . Тогда интегралы  и  или оба сходятся или оба расходятся.

Признаки сравнения, да и критерий Коши мы сформулировали для несобственных интегралов первого рода. Их легко можно переформулировать и для несобственных интегралов второго рода. 

Чаще всего применяют второй признак сравнения, а сравнивают, как правило, со степенными функциями. Сформулируем такой признак сравнения.

Признак сравнения 3. Пусть мы рассматриваем несобственный интеграл   и . Тогда при интеграл сходится, а при  — расходится.

Признак сравнения 4. Пусть  — неограниченная функция при  и мы рассматриваем несобственный интеграл . Пусть . Тогда при  интеграл сходится, а при  — расходится.

Приведем примеры.

Пример 1 Исследовать несобственный интеграл на сходимость: 

Имеем дело с несобственным интегралом первого рода. Поскольку интеграл находить не требуется, применим признак сравнения  .  

Итак, поскольку , то неравенство  выполняется, следовательно, интеграл сходится.

Пример 2 Исследовать несобственный интеграл на сходимость: 

Имеем несобственный интеграл второго рода. Промежуток  ограниченный, а функция при  стремится к бесконечности. Этот интеграл (как неопределенный) в конечном виде не берется, поэтому нам остается только применить признак сравнения , для несобственных интегралов второго рода. Как известно,  при , следовательно,

Таким образом, интеграл  расходится, как и интеграл

Пример 3 При каких значениях параметра  несобственный интеграл  сходится?

Здесь имеется две особенности. Первая — подынтегральная функция может быть неограниченная при , и, кроме этого, промежуток интегрирования неограниченный. Согласно теории, разбиваем интеграл на два:  

Для первого интеграла имеем .

Следовательно, согласно признаку сравнения  этот интеграл будет сходиться при , то есть при  . 

Рассмотрим теперь второй интеграл. Здесь, поскольку , то  ,

второй интеграл будет сходиться при . Поскольку исходный интеграл равен сумме двух рассмотренных интегралов, то он будет сходиться при .