Формула Эйлера для комплексных чисел

В курсе математического анализа в разделе теории рядов возьмем формулу дающую разложение экспоненты в степенной ряд 

. 

Для комплексных чисел   экспонента или экспоненциальная функция определяется точно так же, а именно через ряд:

Согласно формуле Коши – Адамара этот ряд будет сходиться для всех  из комплексной плоскости.

Из математического анализа для действительных чисел известны разложения в ряды тригонометрических функций:

Меняя в определении экспоненты   на , а так же учитывая, что  получим формулу Эйлера: 

.

Эта формула связывает мнимую экспоненту с действительными тригонометрическими функциями. Кстати эта формула Эйлера:

  верна и для произвольных комплексных , хотя применяется для действительных значений . Формула Эйлера позволяет ввести показательную форму записи комплексных чисел. Пусть комплексное число   задано в тригонометрической форме: 

.

Тогда показательная форма записи   получается непосредственно из формулы Эйлера.

Пример 1 Привести комплексное число  к показательной форме, используя формулу Эйлера.

Приведем данное число сначала к тригонометрической форме: модуль числа . Аргумент .

Таким образом, применяя формулу Эйлера

.

По формулам Эйлера определяются тригонометрические функции комплексного переменного:

.

Также через экспоненту определяются и гиперболические функции:

.

Из приведенных формул следует связь между гиперболическими функциями и тригонометрическими: 

.

Эту связь можно записать в таком виде:

.

Пример 2 Найти  . Используем связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:

.