Признаки Коши и Даламбера

Признаки Коши и Даламбера довольно грубые достаточные признаки. Они различают, по сути, только ряды схожие с геометрической прогрессией. Более тонкую сходимость они не чувствуют. Для рядов типа гармонического ряда или обобщенно гармонического ряда они не работают.

 Признак Даламбера

Пусть  положительный ряд (то есть  ). Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если , то ничего сказать нельзя (признак не работает).

 Признак Коши

Пусть   положительный ряд. Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится, если , то ничего сказать нельзя (признак не работает).

 Эти признаки практически работают в одну силу, правда, признак Даламбера более капризный. Если, например, в сходящейся геометрической прогрессии поменять местами члены:, то признак Коши покажет сходимость, а в признаке Даламбера предел   не будет существовать. Иногда удобнее применять один признак, а иногда, другой. 

Пример 1 Исследовать ряд на сходимость .

Здесь удобнее применить признак Даламбера, так как в определении общего члена присутствует факториал. Для начала рекомендуется выписать члены, которые будем сравнивать: 

Теперь отношение:    .

По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 2 Исследовать ряд на сходимость .

Здесь так же применим признак Даламбера:

   

Здесь по признаку Даламбера получили сходящийся ряд.

Пример 3 Исследовать ряд на сходимость .

Применим признак Коши:    

Ряд сходится по признаку Коши.

Пример 4 Исследовать ряд на сходимость .

Применим признак сходимости Коши. 

По признаку Коши ряд сходится.

Пример 5 Исследовать ряд на сходимость  .

Применим признак Коши: 

.

По признаку Коши ряд сходится.