Уравнения Рикатти

Уравнение Рикатти (иногда его называют уравнением Эйлера –Рикатти) есть уравнение вида

.

При  уравнение превращается в уравнение Бернулли, которое легко интегрируется. Если , то в общем случае уравнение не интегрируется. Если известно одно частное решение , то замена  приводит уравнение к уравнению Бернулли:

Приведем примеры.

Пример 1 Решить уравнение Рикатти  .Попробуем подобрать частное решение в виде многочлена зависящего от  . Из вида уравнения понятно, что если такой многочлен существует, то у него порядок не выше первого. Итак, берем  и подставляем в уравнение. После приведения подобных членов получим: 

.

Таким образом,  , а для   имеем два значения . Берем  и частное решение .

Теперь делаем в исходном уравнении замену: . Получим:

 

Полученное уравнение Бернулли решим методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем однородное уравнение  разделяя переменные

.

Теперь полагаем , подставляем найденное решение в неоднородное уравнение:

.

Отсюда   и  . Наконец, решение исходного уравнения:

. Но это не есть все решения исходного уравнения, так как решая вспомогательное уравнение с  , мы получили , то есть было частное решение . Однако полагая далее , мы, в процессе решения, деля на  потеряли это частное решение. Поэтому, окончательный вид общего решения такой:

.

Пример 2 Решить уравнение Рикатти .

Вид уравнения наводит на мысль, что частным решением может быть функция . Подставим ее в уравнение:

 .

Это равенство выполняется при  . Таким образом, частное решение  . Делаем замену в исходном уравнении: :

Отсюда

.

Таким образом, . Но мы потеряли при нахождении  решение   так как делили на . Нам остается к найденному решению добавить потерянное решение и записать общее решение:

.