Возведение комплексного числа в натуральную степень

Комплексные числа можно представить в трех различных формах: алгебраической , тригонометрической  и показательной   .

С комплексными числами можно производить различные арифметические операции: сложение и вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Если степень не натуральная, то возведение в степень определяется через комплексный логарифм и рассматриваться нами не будет. Здесь мы рассмотрим возведение комплексного числа в натуральную степень. Будем опираться на формулы умножения комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

Пусть комплексные числа заданы в алгебраической  форме:  и . Тогда умножение этих чисел определяется следующим образом:

,

 то есть как обычное перемножение скобок с учетом того, что .

Пусть теперь комплексные числа заданы в тригонометрической форме: 

Тогда умножение происходит по формуле:

.

Наконец, если комплексные числа заданы в показательной форме, , то их произведение равно:

.

Представим, что нам нужно возвести комплексное число в натуральную степень . Если степень  большая, а число задано в алгебраической форме, то вычисления будут громоздкие. 

Для тригонометрической и показательной форм возведение в натуральную степень выражается просто: 

.

Докажем  формулу  для тригонометрической формы записи используя метод математической индукции.

1. При  формула верна: ( база индукции).

2. Пусть формула верна для , то есть . Нужно показать, что она верна при , то есть сделать индукционный шаг. Имеем:

.

Тем самым формула доказана. Приведем несколько примеров. 

Пример 1 Возвести число  в сотую степень. Ответ записать в алгебраической форме.

Число находится в тригонометрической форме. Применяем соответствующую формулу:

  

При вычислении мы использовали, что синус и косинус имеют период .

Пример 2 Вычислить , приведя число  к показательному виду. Ответ дать в алгебраической форме.

Приведем число  к показательной форме: . Вычисляем:

  .

Мы воспользовались тем что