Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида , где  и  - произвольные многочлены степеней  и  соответственно. Интегрирование рациональных дробей довольно важный раздел в интегрировании. Дело в том, что интегралы от иррациональных и тригонометрических выражений сводятся к интегрированию рациональных выражений.

Чтобы проинтегрировать рациональное выражение необходимо знать разложение знаменателя  на неприводимые множители. Поскольку мы имеем дело с действительными функциями, то неприводимые множители будут иметь вид  и , где  и  - натуральные числа.

Процесс интегрирования рациональной дроби есть по сути метод разложения более сложного выражения на сумму простейших дробей и на целую часть (если она есть) и далее интегрирования каждого слагаемого в отдельности. Перечислим этапы интегрирования.

1.Если , то дробь неправильная и следует выделить целую часть. Мы рассмотрим пример, на котором продемонстрируем все этапы.

Пример 1 Проинтегрировать рациональную дробь: . Слепень многочлена числителя  больше степени многочлена знаменателя . Выделяем целую часть. Производим деление многочленов столбиком. В результате получим:  

2. Остаток от деления – правильная дробь. Разложим знаменатель на неприводимые множители и разложим эту правильную дробь на простые дроби. Используем метод неопределенных коэффициентов. Простые дроби отвечающие обоим типам множителей следующие. Множителю знаменателя  отвечают простые дроби , а множителю  отвечают простые дроби   .

В нашем примере имеем: и разложим правильную дробь на простые дроби: . Такое разложение существует и единственно. Это следует из соответствующей теоремы алгебры. Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, мы получаем следующее равенство: . Поскольку знаменатели дробей слева и справа равны, то должны равняться и числители. Приравнивая коэффициенты многочленов числителей слева и справа, получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов: .

3. Теперь интегрируем получившееся разложение исходной рациональной функции:. Приведем еще примеры.

Пример 2 Проинтегрировать рациональную дробь: .

Под интегралом неправильная дробь. Выделяем целую часть.

Согласно разложению знаменателя на множители , запишем правильную дробь (остаток) в виде суммы простых дробей с неопределенными коэффициентами:.

Приводя подобные члены в многочлене числителя в правой части, и, приравнивая коэффициенты многочленов числителей слева и справа, получим систему для определения неизвестных коэффициентов:.  Теперь интегрируем: .  

В некоторых случаях интеграл от рациональной функции можно упростить, а затем применять теорию интегрирования рациональных функций.

Пример 3 Проинтегрировать рациональную дробь: . Здесь сделаем предварительно замену , тогда : . Интеграл существенно упростился.

Раскладываем подынтегральное выражение на простые дроби и интегрируем. В самом конце переходим к переменной . .