Интегрирование простых дробей

При интегрировании рациональной дроби, на последнем этапе нужно проинтегрировать простые дроби. К простым дробям относятся дроби следующих четырех типов.

,  ,  ,  .

Для третьего и четвертого типов предполагаем, что отрицательный: .

Рассмотрим отдельно интегрирование каждого из четырех типов функций: 

Здесь интеграл практически табличный:. 

И для этих дробей интегрирование не вызывает затруднений:   

Здесь теория рекомендует сделать сначала замену , после чего применить метод разложения. Покажем решение на примере: 

Пример 1 Найти интеграл . Имеем:

Можно не заморачиваться с заменой, а сделать следующим образом (обычно делают именно так):

Пример 2 Проинтегрировать простую дробь: . 

Здесь мы получим рекуррентное соотношение, позволяющее свести исходный интеграл к интегралу с меньшей степенью знаменателя. Пусть в интеграле от  дроби  мы сделали замену , и свели исходный интеграл  к линейной комбинации двух интегралов:  и . Первый интеграл находится сразу методом внесения под знак дифференциала:

.

Второй интеграл обозначим   и получим для него рекуррентную формулу, то есть формулу позволяющую найти интеграл индекса , через интеграл индекса . Применим формулу интегрирования по частям:

            

Выразим интеграл  через интеграл : 

Пример 3 Найти интеграл , используя рекуррентную формулу. 

Интеграл  - табличный. Находим интеграл : 

Теперь находим интеграл :