Методы подстановки

Метод подстановки в неопределенном интеграле: Положим , где — новая переменная, и — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда 

.

Функцию   следует выбирать так, чтобы правая часть формулы приобрела удобный для интегрирования вид. Некоторые подстановки рекомендуются теорией, например, подстановки в иррациональных выражениях, или тригонометрические подстановки. Мы приведем здесь несколько примеров, в которых будут и стандартные подстановки и подстановки, до которых нужно додуматься.

Пример 1 Найти неопределенный интеграл: .

Здесь не будем, раскладывать по биному девятую степень. Сделаем линейную подстановку:

.

Пример 2 Найти неопределенный интеграл: .

Сделаем подстановку:  :

 

.

Пример 3 Найти неопределенный интеграл: .

Интеграл от дифференциального бинома  , где — рациональные числа может быть приведен к интегрированию рациональных функций только в следующих трех случаях: 

1. Если — целое, то полагают  , где — общий знаменатель дробей  и  .
2. Если  — целое, тогда полагаем , где — - знаменатель дроби .
3. Если — целое, то применяется подстановка   , где — знаменатель дроби .

Пример 4 Привести интеграл:  к интегралу от рациональной функции.

Перепишем интеграл в виде бинома: . Здесь  . В этом случае — целое. Имеем третий случай. Делаем подстановку: .

Подставляем в интеграл и преобразуем:  .

Получили интеграл от рациональной функции.

Пример 5 Найти неопределенный интеграл: .

Сделаем замену  .

Получаем: 

.