Системы линейных уравнений с двумя переменными

Линейным уравнением с двумя неизвестными назовем уравнение вида

,

где  — неизвестные, а  — числа.

Решений этого уравнения бесконечно много.

Графически они представляют собой координаты точек на прямой .

Если уравнений несколько, и нужно найти решения, которые удовлетворяют всем уравнениям одновременно, то мы скажем, что задана система линейных уравнений:

.

Мы будем рассматривать системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. В конце мы покажем, как решаются системы с большим числом уравнений.

Решение системы продемонстрируем на примере.

Пример 1 Решить систему уравнений: .

Есть несколько способов решения линейных систем. Мы познакомимся здесь с тремя из них. Самый наглядный это графический способ.

Мы строим обе прямые на плоскости: можно задать два произвольных значения  для каждой из прямых, найти соответствующие значения  , а затем через полученные две точки (на каждой из прямых) провести это прямые. Можно брать в качестве пары точек точки пересечения с осями координат. Для первой прямой эта пара точек будет  и , а для второй прямой —   и . 

  Точка пересечения этих прямых . Это и есть решение системы.

Этот способ хорош своей наглядностью. Только вот если решение будет не целочисленным, то можно и ошибиться, как бы точно не проводились построения.

На следующем примере покажем действие способа подстановки.

Пример 2 

Решить систему уравнений: .

Выразим из первого уравнения неизвестную и подставим во второе уравнение. Получим систему равносильную исходной системе. Это значит, что решения этих систем будут совпадать.

. 

Во втором уравнении полученной системы из неизвестных осталась только неизвестная . Находим ее и подставляем в первое уравнение. Находим неизвестную . Полученная пара и будет единственным решением системы:

 .

Третий способ является вариантом метода Гаусса решения линейных систем. Этот способ является основным способом решения систем линейных уравнений в Высшей математике. В элементарной математике этот способ называется способом сложения. 

Здесь тоже мы осуществляем переход к равносильной системе. Одно из уравнений мы оставляем без изменения, а в качестве другого уравнения мы берем такую линейную комбинацию обеих уравнений, чтобы в ней отсутствовала одна из неизвестных. 

Пример 3 Решить систему уравнений:.

К первому уравнению прибавим второе, умноженное на . Тогда в этой комбинации будет отсутствовать неизвестная . Далее решаем как в предыдущем способе.

 .

Такую систему не решить графически, ну разве что приближенно.

Для системы состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными имеются три различных случая и соответственно три возможности существования и единственности решений.

1. Прямые имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются в одной точке. Это как в примере 2. Здесь решение системы единственно.
2. Прямые представляющие собой графики уравнений системы параллельны, например. В этом случае прямые не пересекаются и система решения не имеет.
3. Прямые совпадают: , то есть одно уравнение получается из другого умножением на постоянный множитель. То есть, по сути, на месте системы двух уравнений мы имеем одно уравнение. Оно имеет бесконечно много решений. В приведенной системе все решения можно записать так:  .

Теперь рассмотрим редкую ситуацию, когда в системе имеется больше уравнений, чем неизвестных. Можно поступить так. Рассмотреть два первых уравнения системы. Возможен один из перечисленных трех случаев. 

Если это первый случай, то находим это единственное решение и  проверяем, удовлетворяет ли оно остальным уравнениям. Если удовлетворяет, то это решение и есть решение системы, а сами уравнения, если обратиться к их геометрическому смыслу, представляют собой прямые из одного пучка. 

Если имеем второй случай, то решений нет, так как нет решений для системы, состоящей из первой пары уравнений.

Если имеем третий случай, то оставляем одно уравнение из первой пары уравнений и добавляем к нему третье уравнение и дальше следуем опять по алгоритму решения системы состоящей из пары уравнений.

Пример 4 Решить систему уравнений:.

Рассматриваем систему, состоящую из первых двух уравнений. Решаем ее. Получаем единственное решение  . Подставим его в последнее третье уравнение системы: . Третье уравнение удовлетворяется. Поэтому, исходная система имеет единственное решение  .