Целые числа

Мы знаем, что такое натуральные числа: . Если к ним добавить  и отрицательные числа:,  то получим множество целых чисел: .

Приведем несколько примеров связанных с целыми числами.

Пример 1 Доказать, что для любого целого числа  число  делится на .

Разложим число  на множители:

.

Мы видим, что число  представляет собой произведение пяти подряд идущих целых чисел. Одно из них должно делиться на . Из этих подряд идущих целых чисел, по крайней мере, два должны быть четными, а одно из этих четных чисел должно делиться на . Итак, число  должно делиться на . 

Наконец, из трех подряд идущих целых чисел одно должно делиться на . Итого, получаем, что число  должно делиться на 

Далее нам понадобится следующее утверждение: при возведении в степень числа  остатки от деления  на число  начинают повторяться (не обязательно сначала).

Это значит, что если и  при делении на  дают остаток  , то  при делении на тоже даст остаток . 

Пример 2 Найти остаток от деления числа  на .

Для удобства составим следующую таблицу остатков при делении на .

Степень	2	22	23	24	25	26	27
Остаток	2	4	8	4	8	4	8

 

 

Согласно этой таблице  при делении на  дает остаток , а та  при делении на  дает остаток .

Пример 3 Найти остаток от деления числа  на .

Составим таблицу:

Степень	3	32	33	34	35	36	37
Остаток	3	9	27	36	18	9	27

Таким образом, мы видим что  при делении на  дает остаток  ; при делении на  дает остаток ; при делении на  дает остаток  ;  при делении на   дает остаток . У нас  , тем самым при делении на   дает остаток  .

Пример 4 Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел  делится на , то каждое из этих чисел делится на .

Какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на ? Само число может быть записано в виде: , где  может равняться . При возведении в квадрат, число  будет давать такие остатки соответственно: . Поэтому если одно из чисел  или  при делении на  имеет остаток, то его квадрат при делении на  имеет остаток , или и второго числа подобрать нельзя, чтобы сумма квадратов делилась на  . Следовательно, оба числа  и  должны делиться на .

Пример 5 Доказать, что , где - натуральное число, делится на .

Для решения задачи преобразуем данную сумму:

Оба множителя в произведении целые, а первый множитель равен:

.

Большой интерес вызывают так называемые диофантовы уравнения, то есть уравнения или системы уравнений, для которых ищутся только целые (или рациональные) решения.

Пример 6 Решить уравнение  в целых числах.

Общих правил решений диофантовых уравнений нет, однако есть приемы, которые иногда помогают. Преобразуем уравнение:

.

Обозначим  , тогда уравнение примет вид: . 

Сделаем еще одно преобразование: обозначим  :

.

Теперь выражаем исходные неизвестные через:  и  .

Подставим эти выражения в исходное уравнение и найдем:

.

Мы получили решение уравнения . Но это одно решение. Как найти остальные? Будем искать решения в виде:

 , а .

Подставляя в исходное уравнение, получим . Поскольку найденная нами пара  удовлетворяет этому уравнению, то общим решением исходного уравнения будет , где и  произвольные целые числа. Можно показать, что других решений в целых числах нет.