Приближенное вычисление определенных интегралов

Имеется несколько способов вычислить определенный интеграл приближенно. Как и при построении интегральных сумм при определении интеграла Римана, сам промежуток интегрирования делится на  равных частей, выбираются точки, в которых вычисляются значения функции, а затем применяется та или иная формула.

Конечно, имеющиеся программы позволяют находить определенные интегралы с любой точностью, однако не всегда сама функция  задается аналитически, да и само вычисление интеграла приближенно полезно в учебном плане. 

Формула прямоугольников.

Пусть функция  непрерывна и достаточное число раз дифференцируема на конечном отрезке  и мы разделили отрезок на  равных частей точками . Значения функции  в этих точках обозначим соответственно , так что . Различают две формулы прямоугольников. В первой формуле в интегральной сумме мы берем значения функций на левой границе трапеций, а во второй формуле — на правой.

-я формула прямоугольников: 

-я формула прямоугольников:

В обоих случаях точность  одинаковая (точки  конечно разные). 

Формула трапеций.

В этой формуле мы заменяем маленькие криволинейные трапеции на обычные прямоугольные трапеции:

В этом случае формула такая:

 Здесь точность уже выше: . Казалось бы, формула почти не различается с формулой прямоугольников, а точность — выше. 

Формула Симпсона (параболическая формула).

Если в формулах прямоугольников, мы заменяли верхнюю функцию на один из концов, в формуле трапеций — на отрезок прямой, то в формуле Симпсона мы заменяем функцию сверху у маленькой трапеции на дугу параболы проходящей через три точки: две крайних и одна посередине. Для этого отрезок   мы делим на  равных частей точками . Точно так же значения функции в точках  обозначим . И этих обозначениях формула Симпсона будет иметь вид: ,

где .

Пример 1 Найти приближенное значение определенного интеграла по всем четырем формулам, и найти абсолютную и относительную погрешность в каждом способе.

Во всех способах деление промежутка происходит на  равных частей. Вычисления проводим с точностью до третьего знака после запятой. Значения подынтегральной функции:

1. Применяем первую формулу прямоугольников:  
2. Применяем вторую формулу прямоугольников:  
3. Применим формулу трапеций:  
4. Применяем формулу Симпсона:  

Теперь определяем абсолютную и относительную погрешности во всех четырех формулах.

Для этого находим точное значение интеграла: .

Погрешности:

1. Абсолютная погрешность: . Относительная погрешность:  .
2. Абсолютная погрешность: . Относительная погрешность: .
3. Абсолютная погрешность: . Относительная погрешность: .
4. Абсолютная погрешность: . Относительная погрешность: .

Как и ожидалось, наибольшая точность получилась в результате применения формулы Симпсона, а формулы прямоугольников дали наихудшую точность.